1.1 CONJUNTOS

Para compreensão teórica do tema, ficam as recomendações:

• Capítulo II do Fundamentos de Matemática Elementar – Vol 1. Gelson Iezzi e Carlos Murakami;
• Questões de Matemática – Manoel Jairo Bezerra.

Resumo: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm

1. (UFF-RJ) Dado o conjunto P = { {0}, 0, Ø, {Ø} }, considere as afirmativas:

I.  {0} ∈  P                 II. {0} ⊂ P                 III. Ø ∈  P

Com relação a essas afirmativas conclui-se que:

a. todas são verdadeiras.              b. apenas a I é verdadeira. 
c. apenas a II é verdadeira.          d. apenas a III é verdadeira.
e. todas são falsas.

          

Resolução:

i. A questão gira em torno de se saber a aplicação das relações de pertinência e de inclusão. Em breves linhas, utilizamos a relação de pertinência (∈  ou ∉) quando estivermos estabelecendo uma relação do tipo elemento – conjunto. Por sua vez, utilizamos uma relação de inclusão (⊂, ⊄, ⊃ ou ⊅) quando estivermos estabelecendo uma relação do tipo conjunto – conjunto.

ii. Veja que {0} pode representar tanto o elemento “{0}” – o que torna a afirmação I verdadeira –, como o subconjunto formado pelo elemento “0” (ou seja, {0}) – o que torna a afirmação II verdadeira

iii. Ø é, assim como “{}”, o símbolo usual para o conjunto vazio – isto é, o conjunto que não possui elemento algum. Sendo um conjunto, a relação entre Ø e P deveria ser de inclusão (Ø⊂P). No entanto, na nossa questão, Ø também está representando um elemento de P (os elementos de P são: {0}, 0, Ø e {Ø}. Assim, podemos dizer que Ø∈P – o que torna a afirmação III verdadeira.  

Portanto, TODAS as afirmativas são verdadeiras.

Resposta: A

2. (UFSE) Se A e B são dois conjuntos não vazios e Ø é o conjunto vazio, é verdade que, das afirmações

I) A ∩ Ø = {Ø}

II) (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)

III) {A ∪ B} = {A} ∪ {B}

IV) Ø ∈ {Ø, A, B}

São verdadeiras somente:

a) I e II            b) II e III            c) II e IV            d) III e IV            e) I, III e IV

Resolução:

i. A interseção (“∩”) do conjunto vazio com qualquer conjunto é um conjunto vazio. Então, em princípio, a afirmação I estaria correta. Ocorre que o conjunto vazio se representa por Ø ou “{ }”, e não por “{Ø}” – que significa um conjunto unitário formado pelo elemento “Ø”. Assim sendo, a afirmação I é FALSA.

ii.  A afirmação II será analisada mediante diagramas.  "A – B" representa o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B (ou seja, “os elementos de A menos os elementos de B que pertençam a A”). Numa linguagem mais apurada, diríamos que A–B = A – (A ∩ B). Sua representação, em diagrama, é: 

Analogamente, temos que "B - A" será assim representado: 

Logo, a união de A - B com B -  A será: 

iii. Vejamos, agora, a representação em diagrama de (A ∪ B) − (A ∩ B). Primeiramente, A ∪ B:

 A seguir, A ∩ B:

Por fim, (A ∪ B) − (A ∩ B); ou seja, o que está hachurado em (A ∪ B) "apagando" o que também esteja hachurado em (A ∩ B):

iv. Veja que o diagrama do item ii é idêntico ao do item iii. Logo, a afirmação II é VERDADEIRA.

v. Na afirmação III, temos 3 conjuntos unitários diferentes: o primeiro – {A ∪ B} – é formado pelo elemento “A ∪ B”; o segundo – {A} –, pelo elemento “A”; e o terceiro – {B} –, pelo elemento “B”. A união de {A} com {B} – {A} ∪ {B} – compõe-se de dois elementos (“A” e “B”), sendo igual a {A,B}, e não {A ∪ B}. A afirmação III, portanto, é FALSA.

vi.  Por fim, temos a tradicional "armadilha" já analisada anteriormente. Sendo um conjunto, a relação entre Ø e {Ø, A, B} deveria ser de inclusão (Ø⊂{Ø, A, B}). No entanto, na nossa questão, Ø também está representando um elemento de {Ø, A, B}.  Assim, também podemos dizer que Ø ∈ {Ø, A, B}– o que torna a afirmação IV verdadeira.  

Resposta: C.

3. Sejam os seguintes conjuntos:

A = {1, 2, 3}                       B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}                       C = B – A

Os números de subconjuntos que se podem formar a partir de A, de B e de C, respectivamente, são:

a. 8, 16 e 32                    b. 8, 128 e 32                    c. 8, 128 e 16     
                     d. 12, 28 e 16                  e. 3, 7 e 4

Resolução:

i. A partir do conjunto A, podemos formar os seguintes subconjuntos: Ø (obs.: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; inclusive de um conjunto vazio), {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} e {1,2,3} (obs.: qualquer conjunto é subconjunto dele mesmo). Portanto, a partir do conjunto A, podemos formar 8 SUBCONJUNTOS.

ii. A propósito, chamamos de “conjunto das partes de um conjunto X” – representado por “P(X)” – o conjunto formado pelos subconjuntos desse conjunto X. Assim, o conjunto das partes do conjunto A é: P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}, cujos elementos são os subconjuntos formados a partir de A. Veja que o número de elementos de P(A) – que chamaremos “n(P(A))” – é, obviamente, igual ao número de subconjuntos formados a partir de A.

iii. Mas o conjunto A tem apenas três elementos, o que nos permitiu contar o número de subconjuntos formados por seus elementos contando seus subconjuntos um a um. Para um conjunto com número maior de elementos, esse processo se tornaria inviável. Para isso, existe uma forma de calcular a quantidade de subconjuntos de um conjunto X qualquer de n elementos, sem descrever esses subconjuntos. O cálculo é feito pela fórmula n(P(X)) = 2ⁿ, em que n(P(X)) é o número de elementos do conjunto das partes de X – isto é, o número de subconjuntos de X – e n, o número de elementos desse conjunto X. Veja que, por exemplo, o número de subconjuntos que se podem formar a partir do conjunto A será 2³ = 8 subconjuntos – exatamente o que tínhamos achado. Assim, o número de subconjuntos do conjunto B será n(P(B)) = 2⁷ = 128 (imagine descrever 128 subconjuntos!!!).

iv. Para calcular o número de subconjuntos de C, temos de saber seu número de elementos. O enunciado diz que C = B – A, ou seja, C é formado pelos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A (ou seja, “os elementos de B menos os elementos de A que pertençam a B”). Numa linguagem mais apurada, diríamos que B–A = B – (B ∩ A). Assim, C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} menos {2,3} (que são os elementos de B que também pertencem a A) è C = {4, 5, 6, 7, 8}. Como C tem 5 elementos, o número de subconjuntos de C será n(P(C)) = 2⁵ = 32. 

Resposta: B 

4. (U.F.PE) Seja S = {S1, S2, S3} o conjunto de sintomas de uma determinada moléstia. Em geral, um portador desta moléstia apresenta apenas um subconjunto não vazio de S. Assinale a única alternativa correspondente ao número de subconjuntos de S que poderão apresentar os pacientes portadores desta moléstia:

a. 7                     b. 8                     c. 16                    d. 15                     e. 17

Resolução:

i. Vimos que existe uma forma de calcular a quantidade de subconjuntos de um conjunto X qualquer de n elementos, sem descrever esses subconjuntos, o que é feito pela fórmula n(P(X)) = 2ⁿ. A fórmula 2ⁿ contabiliza TODOS os subconjuntos que podemos formar com os n elementos de um subconjunto X, o que inclui o conjunto vazio – que, como vimos, é subconjunto de qualquer conjunto. Assim, para encontrarmos o número de subconjuntos NÃO VAZIOS de um dado conjunto X, basta fazer n(P(X)) – 1 (ou seja, descontar o conjunto vazio).

ii. Na nossa questão, o conjunto S tem 3 elementos. Logo o número de conjuntos não vazios de S será: 2³ – 1 = 7.

Resposta: A

5. (CN – 2006) Observe os conjuntos A={3,{3}, 5, {5}} e B={3, {3, 5}, 5}. Sabendo-se que n(X) representa o número total de elementos de um conjunto X, e que P(X) é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto X, pode-se afirmar que:

a. n (A∩B) = 3          b. n (A∪B) = 7           c. n (A – B) = 2    
                   d. n(P(A)) = 32                e. n(P(B)) = 16

Resolução:

i. Como sabemos, “A∩B” (interseção dos conjuntos A e B) representa o conjunto formado por elementos que pertencem a A e a B, SIMULTANEAMENTE. Sendo assim, A∩B = {3,5}, o que torna a alternativa “a” FALSA – n(A∩B) é, na verdade, igual a 2 .

ii. Como sabemos, “A∪B” (união dos conjuntos A e B) representa o conjunto formado por elementos que pertencem a A ou a B. Sendo assim, A∪B = {3, {3}, 5, {5}, {3,5}}, o torna a alternativa “b” FALSA – n(A∪B) é, na verdade, igual a 5.

iii. Como vimos anteriormente, “A – B” representa o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B (ou seja, A–B = A – (A ∩ B)). Sendo assim,     A – B = {{3}, {5}}, o que torna a alternativa “c” VERDADEIRA.

iv. Como vimos anteriormente, n(P(A)) = 2ⁿ = 2⁴ = 16, e não 32, o que torna a alternativa “d” FALSA.

v. Como vimos anteriormente, n(P(B)) = 2ⁿ = 2³ = 8, e não 16, o que torna a alternativa “e” FALSA.

Resposta: C